Menghitung Luas Daerah Gambar

1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

y = f(x) ³ 0 (grafik di atas sumbu-x) ; sumbu -x garis x = a ; garis x = b                   b Luas =  ò f(x) dx =  0                   a

2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

x = g(y) ³ 0 (grafik di kanan sumbu-y) sumbu -y ; garis y = c ; garis y = d                d Luas = ò g(y) dy =  0                c

                                       b
3. Untuk y = f (x) < 0, maka  ò f(x) dx <  0
                                                                 a
menyatakan luas daerah yang terletak di bawah sumbu x dibatasi oleh garis x = a ; a = b. Karena luas selalu positif, maka :

b                           b Luas = - ò f(x) dx = ê ò f(x) dx ê                a                          a

4. Jika y = f (x) pada interval a < x < b grafiknya memotong sumbu-x, maka luasnya merupakan jumlah dari beberapa integral tertentu.

y = f(x) memotong sumbu x di c ; a < c < b sumbu-x ; garis x = a ; garis x = b                     c                          b Luas = ê ò f(x) dx ê+ ò f(x) dx                a                        c

5. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva

y= f1(x)    ; y=f2(x) garis x = a ; garis x = b                   b Luas =  ò [f1(x) - f2(x)] dx                     a

6. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva

Y = f1(x) Y = f2(x) yang berpotongan pada titik-titik yang berabsis c dan d                   d Luas =  ò [f1(x) - f2(x)] dx                     c

HAL KHUSUS

1. Untuk luas antara dua kurva (fungsi kuadrat dengan sumbu-x ; fungsi kuadrat dengan fungsi kuadrat atau fungsi kuadrat dengan fungsi linier dapat digunakan rumus:
Luas = DÖD      atau       Luas = a êx1 - x2 ê ³
          6a²                                    6
Ket. :
D = Diskriminan hasil eliminasi kedua persamaan (yang tidak      disederhanakan)
a adalah koefisien a² hasil eliminasi kedua persamaan.
x1 dan x2 adalah absis titik potong kedua kurva.

2. Luas antara parabola dengan sumbu-x.

Luas = 2/3 luas persegi panjang           terkecil yang melingkupinya        = 2/3 (b-a)(c)

Integral Tertentu

Pengertian

Bila suatu fungsi F(x) mempunyai turunan f(x), maka bila f(x) diintegrasikan pada selang (a, b) menjadi
a                   a
ò c dx = c(x) ï= F(b) - F(a)
b                   b

2. Sifat

           b                   b
a.     ò c dx = c(x) ï = c(b - c)                 c = konstanta
           a                   a

           b                  a
b.     ò f(x) dx = - ò f(x) dx                      c = batas ditukar
           a                   b

           a
c.     ò f(x) dx =  0                                  c = batas sama
           a

           b               a                b
d.     ò f(x) dx = ò f(x) dx  + ò f(x) dx       c = ( a < c < b)
           a               b                c

Integral Tak Tentu

1. RUMUS

FUNGSI ALJABAR
ò xⁿ dx = ¹/_n+1 xⁿ⁺¹ + c ; n ¹ -1

FUNGSI TRIGONOMETRI
ò sin x dx  = - cos x + c
ò cos x dx = sin x + c

sifat-sifat:
a. ò c f(x) dx = c ò f(x) dx
b. ò ( f(x) ± g(x) ) dx = ò f(x) dx ± ò g(x) dx
c. jika    ò f(x) dx = F(x) + c
   maka  ò f(ax) dx = 1/a F(ax) + c
             ò f(ax+b) dx = 1/a F(ax+b) + c

Perluasan :
ò (ax + b)ⁿ dx = 1/a 1/(n+1) (ax + b)ⁿ⁺¹ + c
ò sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + c
ò cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c
CARA MENGINTEGRIR

a. SUBSTITUSI

     I = ò f(x) dx
     substitusi : x = Q(u) ; dx = Q`(u) du
     I = ò f(Q(u)) Q`(u) du
jika ruas kanan telah diintegrir, subtitusi kembali dengan fungsi invers dari x = Q(u)
(ket : Prinsipnya adalah merubah variabel sehingga rumus dapat digunakan)

b. SUBSTITUSI TRIGONOMETRI
                          
1. Bentuk Ö a² - x²
    misalkan x = a sin q ® q = arc sin x/a
                  dx = a cos q dq

                                            
    ò Ö a2 - x2 dx = a ò Ö 1 - sin²q (a cos q dq)
= a² ò cos²q dq
= ½a² ò (1 + cos²q) dq
= ½a² (q + sinq cosq) + c
                                                               
= ½a² ò [arc sin x + x Öa² - x² ] + c
                                          a    a      a
                                                                         
    ò Ö a² - x² dx = ½ a² arc sin x/a + ½ x Ö a² - x² + c
                              
2. Bentuk ò Öa² + b²x²
    Gunakan substitusi : x = a/b tgq
                                   dx = a/b sec²q dq
                              
3. Bentuk ò Öb^2x2 - a²
    Gunakan substitusi : x = a/b secq
                                   dx = a/b tgq sec²q
    

c. PARSIIL

Yaitu mengenai integral dari suatu bentuk yang merupakan hasil perkalian antara suatu fungsi x dengan turunan dari suatu fungsi x yang lain.

                   I  = ò f(x) g(x) dx
Misalkan :  u = f(x)        ; dv = g(x) dx
                 du = ..... dx   ;   v = ò g(x) dx = ..... maka :

                   ò u du = u v - ò v du

Pemisalan dibuat sedemikian sehingga bentuk  ò v du jadi lebih mudah
Untuk hal-hal khusus dapat digunakan cara TABULASI